返回来看一下,真是漏洞百出,丢人啊。
系列文章目录:
- 第一篇:爱情的严格量子力学描述
- 第二篇:爱情的量子理论2
- 第三篇:心理叠加态:从量子爱情到人的所有心理
- 第四篇:基于统计数据的量子爱情
呐,本文的主要目的是卖萌、买萌,总之是萌的交流,而不是知识技术的交流。嗯呐。
另外,本文没有任何性别和性取向歧视的意思,非常欢迎大家做出一个更加全面的“理论”。
提醒:阅读本文需要量子力学基础。
要描述一个体系,按照力学的观点,有就是牛顿那个无法实现的理想,应该是包括以下几步:
- 描述一个体系的状态。例如如何把初始状态描述出来。
- 描述一个体系的时间演化。
- 从计算结果中提取我们想要的信息,例如可观测量,物理量等等。
当然在牛顿力学中我们有一套方法,在统计中有一套方法,量子中,基本上就是两者的结合。我们今天要尝试的是,使用量子力学来描述情人节的我。
从非常简单的假设出发,得出了几个结论,不严格的说:
- 一个单身的人,如果不接触其他人是不能脱单的(废话 ==);
- 一个单身的人,自己是不完备(有严格定义)的(废话 == );
- 对于处在单身和恋爱叠加态的人,是可以通过测量理论给出严格的不同的表白结果概率的;
- 两个单身男女放在一起,是可能存在纯洁的友谊的,但需要特殊的性别叠加态;
- 两个单身的男女放在一起,如果想要脱单,必须两者之间存在相互作用(废话 ==)。
单个体的理论
状态的描述
首先,我是一个单身的男(zhuang)孩(chun)。1
所以要描述我的状态,必须有一个表示爱情状态的波函数
$$\ket{\mathrm{Single}} .$$
另外,我是一个“男孩”,所以必须有
$$\ket{\mathrm{Boy}} .$$
这两个是不同的相空间,这类体系的哈密顿量也是简单的两个不同的哈密顿量的直和,所以实际上能够描述我的态矢是,
$$\ket{\mathrm{Lei}} = \ket{\mathrm{Single}}\otimes \ket{\mathrm{Boy}} .$$
这是一个不严格的套路,更加严格的套路必须先定义空间,当然有了上面的灵感,完整的空间应该是
$${ \ket{\mathrm{Boy}},\ket{\mathrm{Girl}} } \otimes { \ket{ \mathrm{Single}},\ket{\mathrm{Non-Single} }} .$$
为了简化,我们就简单的认为
$$\ket{\mathrm{Non-Single}} = \ket{\mathrm{inLove} }.$$
并且每个子空间中的态矢是正交归一的。
仅有状态描述得出的推论
我自己是不完备的,因为
$$ \ket{\mathrm{Boy} }\bra{\mathrm{Boy}} + \ket{\mathrm{Girl} }\bra{\mathrm{Girl}} = \hat I .$$
时间演化
原则上可以用 Schrödinger 方程,这里我们不用它,而是用另一种更加漂亮的描述。
$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat \rho = \left[ \hat H, \hat \rho \right]$$
毫无疑问,这里用到了对易子算符。2
那么对于一个有我自己组成的孤立体系,是不可能从 $\ket{\mathrm{Single}}$ 演化到 $\ket{\mathrm{inLove}}$ 的。所以,我现在的状态
$$\ket{\mathrm{Lei}} = \ket{\mathrm{Single}}\otimes \ket{\mathrm{Boy}} $$
是我自己孤立体系的 Hamilton 的一个本征态。换句话说,
$$ \left[ \hat H, \hat \rho \right] = 0 $$
这样一来,我这个孤立体系是没法从演化到 $\ket{\mathrm{inLove}}$ 态的。所以我需要外界的帮助,当然对我来说,这个外界的帮助是一个女孩跟我相互作用。
结果的提取
通过上面的这些讨论,我们可以直接借用 QM 中的测量理论,如果我处在体系(现在可以扩展,不一定是我自己的孤立体系的 Hamilton 了)的本征态上,那么我就是 Stationary 的,换句话说,如果我处在$\ket{\mathrm{Single}}$态(只看这个子空间)上,那么怎么测量我都是这个态,没有时间演化。
但是如果我处在一个叠加态 $\ket{\mathrm{Single}} + \ket{\mathrm{inLove}}$,那么单次测量,我就跳到某一个本征态上,这个情况下当然是概率相等,不过如果我处在 $ C_1\ket{\mathrm{Single}} + C_2 \ket{\mathrm{inLove}}$,那就不等概率了,而且可以计算。(算个球球,你得找个办法得出两个系数好嘛,总不能靠猜。)
二人体系
呐,我们要不要考虑二人(这里仅仅指男 + 女)体系?要考虑这个问题,需要搞清楚这样两个事情:
- 二人的相互作用项应该是什么样?
- 全同粒子理论会对结果有影响么?
状态描述
无相互作用的情况下,一个比较自然的想法是,我们可以直接把两个人的波函数乘起来嘛,因为如果没有相互作用,总的 Hamilton 就是
$$\hat H(\vec r_1,\vec r_2) = \hat H_1(\vec r_1) + \hat H_2(\vec r_2)$$
这里呢,$\vec r_i$ 是指的各自在总空间的坐标,也就是说,我们可以制作对于二人体系的一个完备基矢 ${ \ket{r_1,r_2} }$.
这样一来,二人体系的波函数可以写作
$$\ket{\psi} = \ket{\psi_1}\otimes \ket{\psi_2}$$
有什么问题?
- 需要考虑全同粒子么? 需要考虑的理由是,如果去掉性别属性,那么所有的人(在我们这个理想模型中)都是全同的,所有性别属性就等价于自旋之类的属性,而且比较简单,因为我们只考虑两个性别(一个更加全面的理论应该考虑所有的情况,例如 Trans)。所以我们必须考虑全同粒子带来的问题。
- 相互作用该不该考虑? 需要考虑。因为如果我们不考虑相互作用,那么对于两个处在各自 Hamilton 本征态的人,即便放在了一起,也不能演化成 $\ket{\mathrm{Non-Single}} = \ket{\mathrm{inLove}}$.
所以我们下面需要挨个考虑这两个问题。
全同粒子效应
性别可以组成两个不连通的子空间,一个是性别单态,一个是性别三重态。
性别单态对应的波函数分别是:
$$ \ket{g=0,m_g=0} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{\mathrm{Boy, Girl}} - \ket{\mathrm{Girl, Boy} } ) $$
性别三重态对应的波函数:
$$ \ket{g=1,m_g=0} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{\mathrm{Boy, Girl}} + \ket{\mathrm{Girl, Boy} } )$$
$$ \ket{g=1,m_g=-1} = \ket{\mathrm{Boy, Boy}} $$
$$ \ket{g=1,m_g=1} = \ket{\mathrm{Girl, Girl}} $$
呐,我们现在只讨论其中一类情况,就是 $m_g = 0$ 的情况,因为对称性比较好。
性别单态
这样看来,我们的体系是费米子体系,也就是说粒子交换算符 $P_{12} = -1$ 的体系。
因为性别波函数已经是反对称了,所以我们不需要对爱情状态波函数进行特殊处理,就保持原样即可,因为原来就是对称的。这样合起来的总的波函数是反对称的,符合要求。
性别三重态
只讨论 $m_g = 0$. 性别波函数是对称的,所以需要是的状态波函数反对称。
$$ \ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}}( \ket{\mathrm{Boy’s State1}} \ket{\mathrm{Girl’s State}} - \ket{\mathrm{Girl’s State1}} \ket{\mathrm{Boy’s State}} ) $$
大家可以发现,三重态中,两个都单身的男女组成的体系中,在本征态中找到两个人同时处在单身的状态是不可能的,这就是对应的 Pauli 不相容原理。
但是这个只是对三重态成立,对于单态,就不存在这个结论。
相互作用
相互作用比较麻烦,我会在另一篇文章中详细讨论这个问题。等这个写全了,可以弄个 April Fool’s Day 文什么的。
第二篇:爱情的量子理论2