这一节学习 Matlab 解微分方程，并且跟随 Prof 一起来用 Shooting 方法解决边值问题（boundary value problem）的例子，当然这里面包括了 time-stepping 方法。
4.1 Converting to 1st-order Problem
我们下面要解决一个具体的问题例子： \begin{eqnarray} \phi_{xx} + (n(x) - \beta )\phi &=& 0 \ \phi(\pm 1) &=& 0 \end{eqnarray}
为了简单我们给定一个 $n(x) =100$。
现在回想一下我们之前讨论的理论，是下面的形式： $$ \frac{\mathrm d y}{\mathrm dt} = f(t,y) $$ 那么我们的任务就是：把现在的问题转化成这类一阶的问题。
我们定义 $$ \begin{cases} y_1 = \phi \ y_2 = \phi_x \end{cases} $$
然后很容易代入原来的问题中，得到 $$ \begin{cases} y_1’=y_2 \ y_2’ = (\beta - 100) y_1 \end{cases} $$
太好了，我们现在就把问题转换成一阶的问题了。也就是说，写成矢量形式： $$ \frac{\mathrm d\vec y}{\mathrm dx} = \vec f(x,\vec y) $$ 其中， $$\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \end{pmatrix}$$ $$ \vec f(x,\vec y) = \begin{pmatrix} y_2 \ (\beta - 100) y_1 \end{pmatrix} $$
4.2 Implementation of Boundary Conditions
上面只是方程本身的，我们还有边界条件。所以最终，我们要解决的问题就是：
$$ \begin{cases} y_1’=y_2 \ y_2’ = (\beta - 100) y_1 \end{cases} $$ $$ \phi(\pm 1) = 0 $$ $$ \beta < 100 $$
为什么 $\beta < 100$ 呢？现在我们想一下 $\beta > 100 $，那么我们要解决的问题是： $$ \phi_{xx}= (\beta -100 )\phi $$ 这样的话，解就是 $$\phi \propto e^{\pm \sqrt{\beta -100} x} $$
这个解是没法满足边界条件$\phi(\pm 1) = 0$ 的。因为这个解是单调的，而我们要求在 -1 和 1 处有相同的值 0。