Algorithms for Solving The Advection-Diffusion Equation

前面我们获得了体系的方程,下面我们看看如何来用计算机解决问题。

\begin{eqnarray} \omega_t + [\psi, \omega] &=& v\nabla^2 \omega \ \nabla^2 \psi &=& \omega \end{eqnarray}

体系的范围: $$ x, y \in [-L, L] $$

初始条件: $$ \omega(x,y,t=0)=\omega_0 $$

周期性边界条件: \begin{eqnarray} \omega(-L, y, t) &=& \omega(L,y,t) \ \omega(x,-L,t) &=& \omega(x,L,t) \end{eqnarray}

重新整理方程, $$ \omega_t = v \cdot \nabla^2 \omega - [\psi, \omega] $$

利用 Taylor 展开 $$ \frac{\omega_{n+1} - \omega_n}{ \Delta t } = v\cdot \nabla^2 \omega_n - [\psi_n,\omega_n] $$ 即 $$ \omega_{n+1} = \omega_n + \Delta t [ v\cdot \nabla^2 \omega_n - [ \psi_n,\omega_n ] ] $$

下面的操作步骤:

  1. 计算初始的 stream function $\psi$: $\nabla^2 \psi = \omega$
  2. 计算下一步,即 $\Delta t$ 之后的
  3. 重复上面的步骤

如何计算 $\psi_n$ 呢?我们有方程 $\psi_{xx} + \psi_{yy} = \omega$,而 $\omega$ 是可以通过上面的一阶的 Taylor 展开方程计算的。

我们需要借助之前的离散话的方法。把整个体系所在的 x y 平面网格化:

Finite Difference Discretization

Finite Difference Discretization

定义这样的量 $$ \psi_{mn} = \psi(x_m,y_n) $$

那么周期边界条件可以写成 \begin{eqnarray} \psi_{1j}&=&\psi_{N+1,j} \ \psi_{i1}&=&\psi_{i,N+1} \end{eqnarray}

写成这样之后,$\psi_{mn}$ 的二阶导数的计算方法

$$ \begin{eqnarray} (\psi_{mn})_{xx} &=& \frac{ \psi_{m+1,n} - 2\psi_{mn} + \psi_{m-1,n} }{\Delta x^2} \\ (\psi_{mn})_{yy} &=& \frac{ \psi_{m,n+1} - \2\psi_{mn} + \psi_{m,n-1} }{\Delta y^2} \end{eqnarray} $$

进而我们得到 $\omega_{mn}$ 的导数的表达式

$$ \delta^2 \omega_{mn} = -4 \psi_{mn} + \psi_{m+1,n} + \psi_{m-1,n} +\psi_{m,n+1} + \psi_{m,n-1}$$

这样我们就可以写成 $\bf A \cdot \bf x = \bf b$ 的形式了。当然这里 $\bf x$ 是 $\psi$ 的离散化。