Euler 方法
$$ y_{n+1} = y_n + \Delta t f(t_n, y_n) $$
利用目前的 y 和斜率来预测下一步的 y。
推广：
$$ y(t+\Delta t) = y(t) + \Delta t [ A f(t,y(t)) + B f(t+P \Delta t, y + Q \Delta t f(t, y)) ] $$
即，我们可以对 Euler 方法进行高阶修正。为什么这么说？我们可以分别对上式的左边和右边进行 Taylor 展开，然后对照，发现 P,Q 与 $\Delta t$ 的高阶项的系数有关。 用同样的方法，可以得出 A, B, P, Q 之间的关系（当保留二阶无穷小的时候）。
$$ A+B=1 \ A P=1/2 \ B Q=1/2 $$
推导过程中可以注意到，P，Q 只会影响到三阶无穷小。
而且如果我们在推导中，只保留更低阶的无穷小（一阶无穷小），就回到 Euler 方法了。
Heun’s method
$A=1/2$ 时，对应的是 Heun’s method.
Heun’s Method
这种方法正好是取了 $y_n$ 点的和 $y_{n+1}$ 两点的切线做了平均来预测下一步的函数值的。
二阶 Runge-Kutta 方法
二阶的 RK 方法，要求
A=0
这种方法是取了中点的。
四阶的 RK
$$ y_{n+1} = y_n + \frac{\Delta t}{6} ( f_1 + 2f_2 + 2f_3 + f_4 ) + O(\Delta t^5) $$
太精确了。
Integral and Anam’s Mehtod
积分有没有用呢？
利用积分，将我们要解决的问题
$$ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} = f(t,y) $$
写成
$$ y_{n+1} = y_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y) \mathrm dt $$
但是，问题在于，我们并不知道右侧的那个积分是如何解的，因为只有我们知道了 y 的精确形式，才能解这个积分。
在计算中，我们的方法是
$$ y_{n+1} \approx y_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} p(t,y)\mathrm dt $$
$p(t,y)$ 是 $f(t,y)$ 的多项式的近似。
这是很合理的，因为 $[t_n, t_{n+1}]$ 是一段很小的间隔，所以 $f(t,y)$ 的变化不大，可以用多项式来近似。
Adams Time-Stepping Schemes
从上一节，我们了解到 Adam’s 方法实际上就是利用了积分，并且采用多项式来代替 y 的斜率。具体说来，Adam’s 方法根据所使用的多项式是否包含过去、现在、未来的点，有以下几种。
Adams-Bashforth
最简单的可以用来对 f(t,y) 做近似的多项式是常数，所以我们来试试常数。
$$ p_1(t,y)=\text{Constant} = f(t_n,y_n) $$
把这个形式代入
$$ y_{n+1} = y_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} p_1(t,y)\mathrm dt $$
中，
$$ y_{n+1} \approx y_n + \Delta t f(t_n,y_n) $$
这正好回到了 Euler 方法。
如果我们用 $$ p_2(t,y) = f_n + \frac{f_n - f_{n-1}}{2}(t-t_{n-1}) $$ 即考虑斜率的影响。
得到
$$ y_{n+1} = y_n + \frac{\Delta t}{2} [ 3f(t_n, y_n) - f(t_{n-1},y_{n-1}) ] $$
Adams Moulton
可以用未来、现在、过去的点来计算未来的点。
$$ p(t,y) = \text{Constant} = f(t_{n+1}, y_{n+1}) $$
我们得到
$$ y_{n+1} = y_n + \Delta f(t_{n+1}, y_{n+1}) $$
可是 $ f(t_{n+1}, y_{n+1}) $ 是未知的，一种做法是用其它的方法先获得一个未来的点，例如用 Euler 法来算出一个未来的点，再把这个点代入到这种方法中。
为什么要多次一举呢？因为这种方法的稳定性很棒。