对于科学计算的方法，有两个事情非常重要：
- 计算误差的估计
- 计算的稳定性
这一部分将学习以下几点：
- Truncation Errors （截断误差）
- Local Errors, Global Errors
- Why Higher-order（使用高阶的方法到底有什么好处）
- Numerical Round-off（计算机存储数字的时候会保留某些位数）
- Stability（稳定性）
Truncation Errors of Time-stepping
到现在未知，我们用的方法全是基于 Taylor 展开的，而且我们不是用了所有的展开项，而是用了一部分，也就是我们在某个合适的地方做了截断。
用我们前面使用的 Euler 法来作为例子：
$$y_{n+1} = y_n + \Delta t f(t_n,y_n) + O(\Delta t^2)$$
所以在 Euler 法中，我们在 $O(\Delta t^2)$ 处截断。所以，我们可以根据 $\Delta t$ 的大小来估算我们的误差。
Local Error, Global Error
Local Error
$$\epsilon_K = y(t_{K+1}) - [ y(t_K) + \Delta t \phi ] $$
即，$t_{K+1}$ 时，真实的 y 值和从 $t_K$ 时刻进行一步预测的 y 值之间的差异。
Glabal Error
$$E_K = y(t_K) - y_K$$
即，真实的 y 值与预测的 y 值的差异。全部的，而不是一步的。
可以用 Euler 法作为一个简单的例子。
Euler 法中的 Local Error
$$\epsilon_K = \frac{1}{2} \Delta t^2 \frac{\mathrm d^2 y(c)}{\mathrm dt^2}$$
显然，这个 c 是某个值，但是我们并不知道。
Euler 法中的 Global Error
如果我们总共进行了 K 步，那么 global error 应该是
$$ E_K = \sum_{j=1}^K \frac{1}{2} \Delta t^2 \frac{\mathrm d^2 y(c_j)}{\mathrm dt^2} = K \frac{1}{2}\Delta t^2 \frac{\mathrm dy(c)}{\mathrm dt}= \frac{b-a}{2}\Delta t \frac{\mathrm d^2y(c)}{\mathrm dt^2} $$
这里我们用了几个条件：
- 共进行了 K 步
- 从 a 开始到 b 结束
- 每次的 local error 一样大
Advantages of Higher-order Schemes
对计算机而言，数字的存储是有 round off 的，例如双精度是64位。也就是说，对于我们的计算，某个结果
$$ y_{n+1} = y_n^0 + e_{n+1} $$
这里 $e_{n+1}$ 就是计算机的 round off.
或者，如果考虑到我们的方法
$$ y_{n+1} = y_{n+1}+ E $$
$ y_{n+1}$ 是计算机计算过程中保留的值，$E$ 是误差，包含了 round off 和 truncation：
$$ E = E_{\text{round}} + E_{\text{truncation}} $$
在我们之前的简单 Euler 例子中，
$$ E = \frac{e_{n+1} - e_n}{\Delta t} + \frac 1 2 \Delta t \frac{\mathrm d^2 y(c)}{\mathrm d t^2} $$
考虑到我们有个最大的 $|e_j|$是 e，
$$|e_{n+1}|\leq e$$， $$|e_n|\leq e$$，
并令
$$ M = Max|\frac{\mathrm d^2 y(c)}{ \mathrm d t^2} | $$
我们就得到了
$$|E| = \frac{2e}{\Delta t} +\frac{1}{2} \Delta t M$$
画出这个 $|E|$ 的图像是很有帮助的，我们知道了 $E$ 有一个极小值。可以通过求导来获得
$$\Delta t = \sqrt{\frac{4e}{M}} $$
时，取得极小。
Stability of Time-stepping Schemes
一个比较简单的例子
$$ \frac{\mathrm dy}{\mathrm d t} = \lambda y $$ $$ y(0)=y_0 $$
我们可以解析的得知 $$y(t)=y_0 e^{\lambda t} $$
不过我们要讨论的是计算机计算，所以还是看一下 Euler 方法
$$ y_{n+1} = y_{n+t} + \Delta t\lambda y_n = (1+\lambda \Delta t )y_n$$
这样经过 N 步， $$ y_N = (1+\lambda \Delta t)^N y_0 $$
同时我们可以得出误差 $$ E = (1+\lambda \Delta t)^N$$
稳定性立判： $|1+\lambda \Delta t|<1$ 时，误差会趋于零，是稳定的。 $|1+\lambda \Delta t|>1$ 时，误差会变成无穷大，不稳定。
General Stability and Implicit Schemes
对于更加一般的 $$ y_{n+1} = A y_n $$ 的处理。
除了上面的往前算的 Euler 方法（Forward Euler），还有向后算的 Backward Euler 方法。
$$ y_{n+1} = y_n + \lambda \Delta t y_{n+1}$$
这样我们得到N步之后
$$ y_N = \left( \frac{1}{1 - \lambda \Delta t} \right)^N y_0 $$
这样稳定性正好跟 Forward Euler 的互补。也就是说
Stability of Euler Method
在稳定性区域方面 BE 有着明显的优势。